題型一：歸一問題
【含義】在解題時(shí)先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。
【數(shù)量關(guān)系】
總量÷份數(shù)=單一量
單一量×所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量
或 總量A÷（總量B÷份數(shù)B）=份數(shù)A
【解題思路】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。
【例】買5支鉛筆需要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解：先求出一支鉛筆多少錢——0.6÷5=0.12（元）
再求買16支鉛筆需要多少錢——0.12×16=1.92（元）
綜合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）
題型二：歸總問題
【含義】解題時(shí)先找出“總數(shù)量”，再根據(jù)已知條件解決問題的題型。所謂“總數(shù)量”可以指貨物總價(jià)、幾天的工作量、幾畝地的總產(chǎn)量、幾小時(shí)的總路程等。
【數(shù)量關(guān)系】
1份數(shù)量×份數(shù)=總量
總量÷一份數(shù)量=份數(shù)
【解題思路】先求出總數(shù)量，再解決問題。
【例】服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。問原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套衣服？
解：先求這批布總共多少米——3.2×791=2531.2（米）
再求現(xiàn)在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）
綜合算式：3.2×791÷2.8=904（套）
題型三：和差問題
【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少。
【數(shù)量關(guān)系】
大數(shù)=（和+差）÷2
小數(shù)=（和－差）÷2
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，復(fù)雜題目變通后再套用公式。
【例】甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
解：直接套用公式——
甲班人數(shù)=（98+6）÷2=52（人）
乙班人數(shù)=（98-6）÷2=46（人）
題型四：和倍問題
【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及“大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾）”，求這兩個(gè)數(shù)各是多少。
【數(shù)量關(guān)系】
總和÷（倍數(shù)+1）=較小數(shù)
總和-較小數(shù)=較大數(shù)
或 較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，復(fù)雜題目變通后再套用公式。
【例】果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹是杏樹的3倍，求杏樹和桃樹各有多少棵？
解：先求杏樹有多少棵——248÷（3+1）=62（棵）
再求桃樹有多少棵——62×3=186（棵）
題型五：差倍問題
【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及“大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾）”，求這兩個(gè)數(shù)各是多少。
【數(shù)量關(guān)系】
兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)-1）=較小數(shù)
較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，復(fù)雜題目變通后再套用公式。
【例】果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹度124棵，求杏樹和桃樹各有多少棵？
解：先求杏樹有多少棵——124÷（3-1）=62（棵）
再求桃樹有多少棵——62×3=186（棵）
題型六：倍比問題
【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出倍數(shù)，再用倍比方法算出要求的數(shù)。
【數(shù)量關(guān)系】
總量A÷數(shù)量A=倍數(shù)
數(shù)量B×倍數(shù)=總量B
【解題思路】先求出倍數(shù)，再利用倍比關(guān)系求解。
【例】100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解：先求倍數(shù)，
3700千克是100千克的多少倍——3700÷100=37（倍）
再求可以榨油多少千克——40×37=1480（千克）
綜合算式：40×（3700÷100）=1480（千克）
題型七：相遇問題
【含義】兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速）
總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，復(fù)雜題目變通后再套用公式。
【例】南京到上海的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，問經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？
解：直接套用公式392÷（28+21）=8（小時(shí)）
題型八：追及問題
【含義】兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者 在同一地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)）作相向運(yùn)動(dòng)。在后面的行進(jìn)速度快，在前面的行進(jìn)速度慢，在一定時(shí)間內(nèi)，后者追上了前者的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
追及時(shí)間=追及路程÷（快速-慢速）
追及路程=（快速-慢速）×追及時(shí)間
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，復(fù)雜題目變通后再套用公式。
【例】好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解：先求劣馬先走了多少千米——75×12=900（千米）
再求好馬幾天能追上——900÷（120-75）=20（天）
綜合算式：75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）
題型九：植樹問題
【含義】按相等的距離，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中兩個(gè)量，求第三個(gè)量的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
線性植樹 棵數(shù)=距離÷棵距+1
環(huán)形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距
方形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距-4
三角形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距-3
面積植樹 棵數(shù)=面積÷（棵距×行距）
【解題思路】先弄清是哪種植樹問題，再套用公式。
【例】一條河堤136米，每隔2米栽一棵柳樹，頭尾都栽，一共要栽多少棵柳樹？
解：直接套用“線性植樹”公式——
136÷2+1=68+1=69（棵）
題型十：年齡問題
【含義】已知一個(gè)人的年齡，根據(jù)已知條件求另一個(gè)人的年齡。
【數(shù)量關(guān)系】兩人年齡差不變。
【解題思路】抓住“年齡差不變”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為和差倍比問題求解。
【例】爸爸今年37歲，亮亮今年7歲，幾年后爸爸年齡是亮亮的4倍？
解：抓特點(diǎn)，先求年齡差——37-7=30（歲）
轉(zhuǎn)化為和差倍比問題——30÷（4-1）-7=3（年）
綜合算式：（37-7）÷（4-1）-7=3（年）
題型十一：行船問題
【含義】關(guān)于船速、水速、逆水、順?biāo)暮叫袉栴}。船速即船只在靜水中航行的速度，水速指水流速度，船只順?biāo)叫惺谴倥c水速之和，船只逆水航行是船速與水速只差。
【數(shù)量關(guān)系】
（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=船速
（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=水速
順?biāo)俣?船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2
逆水速度=船速×2-順?biāo)俣?順?biāo)俣?水速×2
【解題思路】直接套用公式即可。
【例】一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水航行這段路程需用幾小時(shí)？
解：直接套用公式——船速為320÷8-15=25（千米/小時(shí)）
船在逆水中的速度為25-15=10（千米/小時(shí)）
船逆水航行這段路程的時(shí)間為320÷10=32（小時(shí)）
題型十二：火車過橋問題
【含義】這是與列車行駛有關(guān)的問題，解答時(shí)注意列車車身的長度。
【數(shù)量關(guān)系】
火車過橋：過橋時(shí)間=（車長+橋長）÷車速
【解題思路】利用數(shù)量關(guān)系及其變式求解。
【例】一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？
解：火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
先求火車三分鐘行多少米——900×3=2700（米）
再求火車長度——2700-2400=300（米）
綜合算式：900×3-2400=300（米）
題型十三：時(shí)鐘問題
【含義】研究鐘面上時(shí)針與分針的關(guān)系問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針呈夾角等。
【數(shù)量關(guān)系】
分針的速度是時(shí)針的12倍。
二者的速度差為11/12。
【解題思路】變通為“追及問題”或者“差倍問題”求解。
【例】從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合。
解：根據(jù)數(shù)量關(guān)系，每分鐘分針比時(shí)針多走（1-1/12）=11/12格。4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為
20÷（1-1/12）≈22分
題型十四：盈虧問題
【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或者兩次都有余，或者兩次都不足的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
一盈一虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)=（盈+虧）÷分配差
兩次都盈或兩次都虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)=（大盈-小盈）÷分配差
參加分配總?cè)藬?shù)=（大虧-小虧）÷分配差
【解題思路】分清是哪種盈虧問題，直接套用公式。
【例】給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少個(gè)小朋友？有多少個(gè)蘋果？
解：一盈一虧問題，直接套用公式——
先求有小朋友多少人：（11+1）÷（4-3）=12（人）
有多少個(gè)蘋果：3×12+11=47（個(gè)）
題型十五：工程問題
【含義】研究工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。
【數(shù)量關(guān)系】
工作量=工作效率×工作時(shí)間
工作時(shí)間=工作量÷工作效率
工作時(shí)間=工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）
【解題思路】解答問題的關(guān)鍵是把工作總量看做“1”，再套用公式。
【例】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？
解：把此項(xiàng)工程看作單位“1”，那么甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，兩隊(duì)合作每天完成（1/10+1/15），由此可列出算式 1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）
題型十六：牛吃草問題
【含義】這個(gè)問題是大科學(xué)家牛頓提出的，這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長的因素。
【數(shù)量關(guān)系】草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)
【解題思路】關(guān)鍵是求草每天的生長量。
【例】一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
解：設(shè)每頭牛每天吃草量為1，根據(jù)公式分5步解答：
求草每天的生長量：50÷（20-10）=5
求草原有草量=10天內(nèi)總草量-10天內(nèi)生長量
=1×15×10-5×10=100
求5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長量=100+5×5=125
求多少頭牛5天吃完草：125÷（5×1）=25（頭）
題型十七：雞兔同籠問題
【含義】這是古典的 算術(shù)問題，第一類是已知雞兔共有多少只和多少只腳，求雞兔各有多少只的問題；另一類是已知雞兔總數(shù)和雞腳與兔腳之差，求雞兔各有多少只的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
第一類問題：假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-2×雞兔總數(shù)）÷（4-2）
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)=（4×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（4-2）
第二類問題：
假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)=（2×雞兔總數(shù)-雞與兔腳之差）÷（4+2）
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)=（4×雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差）÷（4+2）
【解題思路】分清是哪一類雞兔同籠問題，然后套用公式即可。
【例】雞兔同籠，共有35只頭，94只腳，問雞兔分別多少只？
解：假設(shè)籠子里全是兔子，則根據(jù)公式
雞數(shù)=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔數(shù)=94-23=12（只）
題型十八：商品利潤問題
【含義】關(guān)于成本、利潤、利潤率、虧損、虧損率等方面的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)
利潤率-（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)×100%
售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤率）
虧損=進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)
虧損率=（進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%
【解題思路】利用公式及其變式即可解答。
【例】某商量的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？
解：設(shè)這種商品原價(jià)為“1”，則一月份售價(jià)為（1+10%），二月份售價(jià)為（1+10%）×（1-10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了 1-（1+10%）×（1-10%）=1%
題型十九：存款利率問題
【含義】關(guān)于本金、利率、存期三個(gè)因素的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%
利息=本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率
本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率×存款年（月）利率）
【解題思路】直接套用公式即可。
【例】大強(qiáng)存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長？
解：先求總利息是（1488-1200）元，
再求總利率為（1488-1200）÷1200
則存款月數(shù)為（1488-1200）÷1200÷0.8%=30（月）
題型二十：溶液濃度問題
【含義】關(guān)于溶劑（水或其他液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度幾個(gè)量之間關(guān)系的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
溶液=溶劑+溶質(zhì)
濃度=溶質(zhì)÷溶液×100%
【解題思路】利用公式及其變式，進(jìn)行分析計(jì)算，即可解題。
【例】現(xiàn)有16%的糖水50克，要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？
解：直接根據(jù)公式 50×16%÷10%-50=30（克）
題型二十一：列方程問題
【含義】把題目中的未知數(shù)用字母X代替，列出等量關(guān)系式，解出X的問題。
【數(shù)量關(guān)系】方程等號左右兩邊是等量關(guān)系。
【解題思路】可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六字法。
審：認(rèn)真審題，找出已知條件和待求問題。
設(shè)：將未知數(shù)設(shè)為X。
列：根據(jù)已知條件，列出方程。
解：求解所列方程。
驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的等量關(guān)系及求解過程是否正確。
答：寫答語，回答題目所問。
【例】甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？
解：設(shè)乙班有X人，則甲班有（90-X）人，
根據(jù)等量關(guān)系可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40，從而得90-40=50
答：甲班50人，乙班40人。
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