求線段長(zhǎng)度的方法總結(jié)過(guò)的同學(xué)都清楚，一共四種，按照學(xué)習(xí)的先后順序分別是面積法、勾股定理、相似和解直角三角形。這四種方法又可以分為兩類(lèi)，相似單獨(dú)作為一類(lèi)，另外三種歸為一類(lèi)。為什么把三個(gè)歸為一類(lèi)呢？它們都是在單個(gè)三角形中求解，都需要90°角，而相似是兩個(gè)三角形的相似，也不一定是直角三角形。求線段長(zhǎng)度的題型可以作為一個(gè)專(zhuān)題細(xì)細(xì)來(lái)講。今天我們就舉一個(gè)例子，綜合的，是兩個(gè)或更多求線段長(zhǎng)度方法的結(jié)合。
已知，在邊長(zhǎng)為1的圓內(nèi)接正方形ABCD中，P為邊CD的中點(diǎn)，直線AP交圓于點(diǎn)E。求弦DE的長(zhǎng)。（摘自初中新學(xué)案優(yōu)化與提高數(shù)學(xué)九年級(jí)B本）
之所以選擇此題講解，很大原因是因?yàn)閱?wèn)題是求弦DE的長(zhǎng)，在DE前面有一個(gè)“弦”字，它往往會(huì)把問(wèn)題引到垂徑定理和勾股定理求弦長(zhǎng)上來(lái)。當(dāng)然這并不是不可解，只是增加了解決問(wèn)題的難度。順著這個(gè)思路，會(huì)去作輔助線：確定圓心O，然后連結(jié)OD，作OF⊥DE于點(diǎn)F。先發(fā)現(xiàn)勾股定理的話，半徑可求，弦心距OF不可求，思路到這里基本算終結(jié)了；但仔細(xì)觀察后，發(fā)現(xiàn)不然，△ODF是可以利用圓周角定理證明與△APD相似的！
第二種方法，如果在多考慮一點(diǎn)，線段DE不僅僅是弦，也是三角形的邊，它是△ADE和△PDE的一條邊！再結(jié)合已知條件，由圓做輔助，連接AC（AC是一條特殊的線段，不僅是圓的直徑，還是正方形的對(duì)角線），容易證明△APC∽△DPE，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線段DE的長(zhǎng)度。這里實(shí)質(zhì)上也是構(gòu)造一組相似三角形，但無(wú)論是從輔助線添加的條數(shù)上，還是從證明和計(jì)算的難度上，都比第一種方法簡(jiǎn)單簡(jiǎn)潔。
第三種方法，從已知條件圓內(nèi)接正方形入手，知∠E=45°，是特殊角。另外在△ADE中，∠DAE的三角函數(shù)值也是可求的，AD=1，所以過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，構(gòu)造90°角，利用解直角三角形，可以輕松解題。
該題目的解法還有很多，大家可以集思廣益，提供更多簡(jiǎn)便的方法。
也希望更多的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)的規(guī)律，享受發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的規(guī)律帶來(lái)的樂(lè)趣！接上一帖子
